一元二次方程题目求解

（1）证明方程总有两个不相等的实数根‌

‌方法：‌ 计算判别式 ΔΔ，证明 Δ>0Δ>0。

Δ=[−(2k+1)]2−4×1×(k2+k−2)Δ=[−(2k+1)]2−4×1×(k2+k−2)Δ=4k2+4k+1−4k2−4k+8=9>0Δ=4k2+4k+1−4k2−4k+8=9>0

‌结论：‌ 由于 Δ=9>0Δ=9>0，方程总有两个不相等的实数根。

‌（2）若一个根是另一个根的 3 倍，求 kk 的值‌

‌方法：‌ 利用韦达定理（根与系数关系）。
设 x1=αx1​=α，则 x2=3αx2​=3α。
由韦达定理：

x1+x2=2k+1⇒4α=2k+1(1)x1​+x2​=2k+1⇒4α=2k+1(1)x1x2=k2+k−2⇒3α2=k2+k−2(2)x1​x2​=k2+k−2⇒3α2=k2+k−2(2)

由 (1) 得 α=2k+14α=42k+1​，代入 (2)：

3(2k+14)2=k2+k−23(42k+1​)2=k2+k−23(4k2+4k+1)16=k2+k−2163(4k2+4k+1)​=k2+k−212k2+12k+3=16k2+16k−3212k2+12k+3=16k2+16k−32−4k2−4k+35=0⇒4k2+4k−35=0−4k2−4k+35=0⇒4k2+4k−35=0

解得：

k=−4±16+5608=−4±5768=−4±248k=8−4±16+560​​=8−4±576​​=8−4±24​k=208=52或k=−288=−72k=820​=25​或k=8−28​=−27​

‌结论：‌ k=52k=25​ 或 k=−72k=−27​。

‌（3）若 x12+x22=5x12​+x22​=5，求 kk 的值‌

‌方法：‌ 利用韦达定理变形。

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=5x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​=5

由韦达定理：

x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k−2x1​+x2​=2k+1,x1​x2​=k2+k−2

代入得：

(2k+1)2−2(k2+k−2)=5(2k+1)2−2(k2+k−2)=54k2+4k+1−2k2−2k+4=54k2+4k+1−2k2−2k+4=52k2+2k+5=5⇒2k2+2k=02k2+2k+5=5⇒2k2+2k=02k(k+1)=0⇒k=0或k=−12k(k+1)=0⇒k=0或k=−1