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答案与解析：
- 1、旋转构造：
将△APC绕点A顺时针旋转60°，点C旋转至C'，点P旋转至P'，则AP' = AP，∠PAP' = 60°，且AC' = AC = 4。 2、证明△APP'为等边三角形：
- 由旋转性质可知，AP' = AP；
- ∠PAP' = 60°（旋转角为60°）；
- 因此，△APP'是等边三角形（两边相等且夹角为60°）。
3、共线取最值：
- 原式PA + PB + PC = PB + PP' + P'C'（因PC = P'C'且PP' = AP）；
- 当B、P、P'共线时，PB + PP' + P'C' = BP' + P'C'，路径最短为BC'；
- 在△ABC'中，AB=3，AC'=4，∠BAC' = ∠BAC + 60° = 120°；
- 由余弦定理：BC′=AB2+AC′2−2⋅AB⋅AC′⋅cos120°=32+42−2⋅3⋅4⋅(−0.5)=37BC′=AB2+AC′2−2⋅AB⋅AC′⋅cos120°=32+42−2⋅3⋅4⋅(−0.5)=37
- 因此，PA + PB + PC的最小值为3737。
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