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(1) 求
A
A 的大小
已知条件是：
b
sin
B
+
c
sin
C
−
2
sin
A
=
b
sin
C
bsinB+csinC−2sinA=bsinC
根据正弦定理，有：
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
sinA
a
=
sinB
b
=
sinC
c
设比例常数为
k
k，则有：
a
=
k
sin
A
,
b
=
k
sin
B
,
c
=
k
sin
C
a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC
代入已知条件：
b
sin
B
+
c
sin
C
−
2
sin
A
=
b
sin
C
bsinB+csinC−2sinA=bsinC
将
b
b 和
c
c 替换为
k
sin
B
ksinB 和
k
sin
C
ksinC：
k
sin
2
B
+
k
sin
2
C
−
2
k
sin
A
=
k
sin
B
sin
C
ksin
2
B+ksin
2
C−2ksinA=ksinBsinC
化简得：
sin
2
B
+
sin
2
C
−
2
sin
A
=
sin
B
sin
C
sin
2
B+sin
2
C−2sinA=sinBsinC
由于
sin
2
x
+
sin
2
y
=
1
−
cos
(
2
x
)
+
1
−
cos
(
2
y
)
=
2
−
(
cos
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
)
sin
2
x+sin
2
y=1−cos(2x)+1−cos(2y)=2−(cos(2x)+cos(2y))，所以：
2
−
(
cos
(
2
B
)
+
cos
(
2
C
)
)
−
2
sin
A
=
sin
B
sin
C
2−(cos(2B)+cos(2C))−2sinA=sinBsinC
又因为
cos
(
2
x
)
=
1
−
2
sin
2
x
cos(2x)=1−2sin
2
x，所以：
2
−
(
1
−
2
sin
2
B
+
1
−
2
sin
2
C
)
−
2
sin
A
=
sin
B
sin
C
2−(1−2sin
2
B+1−2sin
2
C)−2sinA=sinBsinC
2
−
2
+
2
(
sin
2
B
+
sin
2
C
)
−
2
sin
A
=
sin
B
sin
C
2−2+2(sin
2
B+sin
2
C)−2sinA=sinBsinC
2
(
sin
2
B
+
sin
2
C
)
−
2
sin
A
=
sin
B
sin
C
2(sin
2
B+sin
2
C)−2sinA=sinBsinC
比较两边，可以发现只有当
sin
A
=
3
2
sinA=
2
3
时等式成立，即
A
=
π
3
A=
3
π
或
A
=
2
π
3
A=
3
2π
。
但考虑到
A
A 是一个内角，且
A
<
π
A<π，因此
A
=
π
3
A=
3
π
。
(2) 已知
A
D
AD 是
△
A
B
C
△ABC 的中线，求
A
D
AD 的最大值
在
△
A
B
C
△ABC 中，
D
D 是边
B
C
BC 的中点，所以
A
D
AD 是中线。
由向量法可知：
A
D
→
=
1
2
(
A
B
→
+
A
C
→
)
AD
=
2
1
(
AB
AC
)
利用向量模长公式：
∣
A
D
→
∣
=
1
2
∣
A
B
→
∣
2
+
∣
A
C
→
∣
2
+
2
∣
A
B
→
∣
∣
A
C
→
∣
cos
A
∣
AD
∣=
2
1
∣
AB
∣
2
+∣
AC
∣
2
+2∣
AB
∣∣
AC
∣cosA
已知
a
=
2
a=2，
A
=
π
3
A=
3
π
，所以：
∣
A
D
→
∣
=
1
2
b
2
+
c
2
+
b
c
∣
AD
∣=
2
1
b
2
+c
2
+bc
要使
∣
A
D
→
∣
∣
AD
∣ 最大，需要
b
2
+
c
2
+
b
c
b
2
+c
2
+bc 取最大值。
由柯西不等式：
b
2
+
c
2
≥
2
b
c
b
2
+c
2
≥2bc
所以：
b
2
+
c
2
+
b
c
≤
3
b
c
b
2
+c
2
+bc≤3bc
取等号时，
b
=
c
b=c，此时
b
2
+
c
2
+
b
c
=
3
b
c
b
2
+c
2
+bc=3bc。
因此：
∣
A
D
→
∣
max
=
1
2
3
b
c
∣
AD
∣
max
=
2
1
3bc
由正弦定理：
b
c
=
(
a
sin
A
)
2
sin
B
sin
C
=
(
2
sin
π
3
)
2
sin
B
sin
C
=
4
3
sin
B
sin
C
bc=(
sinA
a
)
2
sinBsinC=(
sin
3
π
2
)
2
sinBsinC=
3
4
sinBsinC
所以：
∣
A
D
→
∣
max
=
1
2
3
⋅
4
3
sin
B
sin
C
=
sin
B
sin
C
∣
AD
∣
max
=
2
1
3⋅
3
4
sinBsinC
=
sinBsinC
综上所述：
(1)
A
=
π
3
A=
3
π
(2)
A
D
AD 的最大值为
sin
B
sin
C
sinBsinC
。 这个不支持数学符号 不行啊 赶紧找大古改下这个编辑器
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