有没有人帮我解答下这个竞赛题

1. 求直线解析式‌

• 直线过点 A(1,0)A(1,0)，代入得：0=k⋅1+b⇒b=−k0=k⋅1+b⇒b=−k
• 联立抛物线 y=x2−4x+3y=x2−4x+3 与直线 y=kx−ky=kx−k，求交点：x2−4x+3=kx−k⇒x2−(4+k)x+(3+k)=0x2−4x+3=kx−k⇒x2−(4+k)x+(3+k)=0
• 已知 x=1x=1 是方程的解，由韦达定理，另一解 xB=3+kxB​=3+k。
• 点 BB 在直线上，代入 y=kx−ky=kx−k，得 B(3+k,3k)B(3+k,3k)。
• 由于 BB 也在抛物线上，代入抛物线方程验证，解得 k=1k=1，故直线为：y=x−1y=x−1

‌2. 求 △ABC△ABC 的面积‌

• 抛物线顶点 CC：y=x2−4x+3=(x−2)2−1⇒C(2,−1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1⇒C(2,−1)
• 直线与抛物线另一交点 BB：x2−4x+3=x−1⇒x2−5x+4=0⇒B(4,3)x2−4x+3=x−1⇒x2−5x+4=0⇒B(4,3)
• 计算面积：面积=12∣1(3−(−1))+4(−1−0)+2(0−3)∣=3面积=21​∣1(3−(−1))+4(−1−0)+2(0−3)∣=3

‌3. 判断是否存在点 DD‌

• 设 D(x,x2−4x+3)D(x,x2−4x+3)，要求 △ABD△ABD 面积为 6。
• 利用行列式计算面积：12∣1(3−yD)+4(yD−0)+x(0−3)∣=621​∣1(3−yD​)+4(yD​−0)+x(0−3)∣=6
• 解得 yD=6yD​=6 或 yD=−6yD​=−6。

• 代入抛物线方程：

  • x2−4x+3=6⇒x=2±7x2−4x+3=6⇒x=2±7​
  • x2−4x+3=−6⇒无实数解x2−4x+3=−6⇒无实数解
• 故存在两个点 DD：D(2+7,6)和D(2−7,6)D(2+7​,6)和D(2−7​,6)